mögen — piacere — di solito va con un nome. Attenzione alla costruzione: in italiano la cosa è il soggetto (il caffè mi piace), in tedesco il soggetto è la persona, come se dicessi io amo:

• Ich mag Kaffee. — Mi piace il caffè.
• Magst du Brezeln? — Ti piacciono i brezel?
• Marina mag Berlin. — A Marina piace Berlino.

möchte — vorrei — è una forma speciale di mögen (il Konjunktiv II, il cugino del tuo condizionale) e si comporta come un modale: con un nome, o con un infinito in fondo.

• Ich möchte einen Kaffee, bitte. — Vorrei un caffè, per favore.
• Wir möchten ins Museum gehen. — Vorremmo andare al museo.

Pronome	mögen (piacere)	möchte (vorrei)
ich	mag	möchte
du	magst	möchtest
er / sie / es	mag	möchte
wir	mögen	möchten
ihr	mögt	möchtet
sie / Sie	mögen	möchten

Occhio ai puntini: möchte vuole l'Umlaut. Senza, mochte vuol dire mi piaceva: è il passato.